Nasıl Etkilenir

"Tamamen Faktör" talimatlarının eşlik ettiği bir sayı veya ifadenin görünümü, kalbinize korku salıyor mu? Cebirde dikkat etmenizi ister misiniz? Bu talimat size herhangi bir sayıyı veya Ax ^ 2 + Bx + C gibi uygun bir ifadeyi nasıl hesaplayacağınızı öğretecektir.

Adım 1: Faktoring Sayıları

Öncelikle, faktör nedir?

"Doğal sayı faktörleri" tam sayı kümesidir, burada kümedeki bir sayıyı kümedeki başka bir sayı ile çarparsanız, çarpanlarına ayırdığınız sayıyı alırsınız.

Örneğin, 5 sayısının iki faktörü vardır: 1 ve 5. 6 sayısının dört faktörü vardır: 1, 2, 3 ve 6.

"Tamsayı faktörleri" negatif sayıları içerir.

Bu durumda 5 sayısının dört faktörü olacaktır: -5, -1, 1 ve 5. 6'nın sekiz faktörü olacaktır: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 ve 6.

(Doğal sayılar, 1, 2, 3, 4, 5'ten başlayarak sonsuza kadar kesirsiz sayılardır. Tamsayılar doğal sayılar, ayrıca negatif muadilleri ve 0 veya ...- 5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...)

Doğal sayı kümesiyle sayıları çarpanlara ayırmak basittir. Her sayının en az iki faktörü vardır. Diğer faktörleri bulmak için, ikiden başlayarak sayıyı ikiye bölmeye başlayın ve bu sayıya 2'ye ulaşana kadar ilerleyin. Kalan olmayan herhangi bir bölüm hem bölen hem de bölümün bu sayının faktörleri olduğu anlamına gelir.

9 sayısını hesaba katmanız gerektiğini varsayalım. İki eşit olarak bölemezsiniz, bu yüzden onu atlarız. (Çözüme dikkat edin, 4.5, böylece daha sonra ne zaman duracağınızı bilirsiniz.) 9, 3 ile bölünebilir, bu nedenle faktörler listenize 3 ekleyin. 5'e (9'a 2, yuvarlanmış) bölünene kadar yukarı doğru çalışın. Bir faktörler listesi olarak 1, 3 ve 9 ile sonuçlanacaksınız.

Tamsayı kümesindeki sayıları çarpanlarına ayırırken, doğal sayı çarpanlarına ayırma işleminden çözümlerinizin negatif eşdeğerini ekleyebilirsiniz. Böylece 9, -9, -3, -1, 1, 3 ve 9 çarpanlarına sahip olacaktır.

Faktoring negatif sayıları sadece tamsayı faktoring ile yapılabilir. Çözüm, sayının pozitif sürümünü çarpanlarına ayırdığınız ile aynıdır. -9'un -9, -3, -1, 1, 3 ve 9 faktörleri vardır.

Sıfır, sonsuz miktarda faktöre sahip tek tamsayıdır ve faktör olarak sıfır olan tek tamsayıdır.

Adım 2: Bir İfadeden GCF'yi Faktoring Etme

Ve hayır, yanlışlıkla ara odasını kahve ile doldurduğunuzu söylediğinizde patronunuzun ifadesini çarpanlarına ayırmak istemiyorum.

Cebirsel ifadeler, katsayılar denilen sayılar ve bir güce yükseltilebilen değişkenlerden oluşur. X ^ 2 + 6x + 8 ifadesinde 1 değişkeni x ^ 2 katsayısıdır. (Bir değişkenden önce bir katsayı görmüyorsanız, bu 1'dir, çünkü x ^ 2 1 ile çarpılır.) Benzer şekilde 6, x ^ 1 katsayısıdır. (Yalnız bir değişken bir güce yükseltilir.) 8 sabit olarak adlandırılır - bir değişkenle çarpılmaz. (X ^ 0 ile çarpıldığını ve 0'ıncı güce yükseltilen herhangi bir sayının 1'e eşit olduğunu hayal edebilirsiniz).

Bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak için, GCF'yi veya En Büyük Ortak Faktörü çarpanlarına ayırarak başlamalısınız. İfadenin her bir bileşeninin faktörlerini listeleyin. Burada doğal sayı faktörlerini bulmak istiyoruz.

X ^ 2 + 6x + 8 ifadesinde şöyle görünen faktörler bulunur:

x ^ 2: 1
6x: 1, 2, 3, 6
8: 1, 2, 4, 8

Üç listeye bakarsanız, hepsinin ortak paylaştığı tek bir şey vardır, bir numara. Bu, çarpanlarına ayıracak birden fazla katsayı olmadığı anlamına gelir.

Sonra üslerin güçlerine bakarsınız. 2, 1 ve 0. Bir sıfır görürseniz, ifade bir değişkenle çarpanlarına ayrılamaz.

Bu ifade bir sonraki adıma hazır.

Çarpanlarına ayırılması gereken bir GCF'ye sahip bir örnek: 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 10x. Faktörlerin her biri:

2x ^ 3: 1, 2
18x ^ 2: 1, 2, 3, 6, 9, 18
10x: 1, 2, 5, 10

Burada parçaların ortak 1 ve 2 olduğunu görebiliriz. En büyük sayıyı buluyoruz, 2.

Sonra üslerin güçlerine bakıyoruz: 3, 2 ve 1. 0 olmayan en küçük sayıyı, bu durumda bir numarayı bulun. Bu, x ^ 1 veya sadece x ifadesine bölünebileceği anlamına gelir.

2x elde etmek için sayı ve değişkeni birlikte çarpın. Sonra ifadenin her bir parçasını 2x'e bölün.

2x ^ 3 / 2x = x ^ 2
18x ^ 2 / 2x = 9x
10x / 2x = 5

GCF dışlanmış olarak ifade edilen 2x (x ^ 2 + 9x + 5) ifadesidir. Faktörlü ifadeyi parantez içine almanız ve GCF'yi yanına yazmanız gerektiğini unutmayın.

Adım 3: Faktoring Binomları

Binomlar sadece iki terim eklenerek ifade edilir.

2x ^ 2 - 4x bir binom örneğidir. (2x2'ye negatif bir 4x eklendiğini söyleyebilirsiniz.)

İlk olarak, GCF'yi 2 kat artırın. 2x (x - 2) kaldı. Bu, bu binomun gidebildiği kadarıyla. 1x +/- n formundaki herhangi bir binom, daha fazla faktörleştirilemez.



Doğal bir sayı olan bir kare kökü olan negatif bir sayıya eklenmiş, eşit bir üslü değişken olan bir binom varsa, buna mükemmel kare denir.

x ^ 2 - 4 bunun bir örneğidir. Değişkenin kare kökünün artı pozitif sabitin kare kökünün ürünü ve değişkenin kare kökü eksi pozitif sabitin kare kökü olarak ifade edilebilir.

Ha?

Temel olarak, değişkenin karekökünü alın. Sonunda x ile karşılaşacaksınız. Sonra 4'ün karekökünü alırsınız. 2 ile sonuçlanacaksınız. Bunları bir araya eklerseniz, x + 2 elde edersiniz. Onları çıkarın ve x-2 elde edersiniz. İkisini çarptığınızda (x + 4) (x-4) elde edersiniz. Mükemmel bir kareyi çarpanlarına ayırdınız.

FOIL ile birlikte (x + 2) (x-2) değerini çarparsanız, x ^ 2-4 ile sonuçlanırsınız.

(FOIL: İlk Dış İç Son, iki binomu bir araya getirmenin bir yolu. Binomların ilk terimlerini (bu durumda x ve x), sonra dış ikisini (x ve -2), sonra iç ikisini (2 ve x), son terimleri (2 ve -2), ardından hepsini toplayın. x ^ 2 - 2x + 2x - 4 = x ^ 2 - 4.)

Binomlardan biri mükemmel bir kare ise, bu örnekte olduğu gibi bu tekrar yapılabilir:

x ^ 4 - 16 = (x ^ 2 + 4) (x ^ 2 - 4) = (x ^ 2 + 4) (x + 2) (x - 2).

İrrasyonel sayılar getirirseniz, bu durum daha da önemli olabilir, bkz. Adım [9].



Binomları (x ^ 3 + b ^ 3) şeklinde faktörler:

Sadece (a - b) 'yi takın (a ^ 2 + ab + b ^ 2). Örneğin, (x ^ 3 + 8) = (x - 2) (x ^ 2 + 2x + 4).

Binomları (x ^ 3 - b ^ 3) şeklinde faktörler:

(A + b) (a ^ 2 - ab + b2) takın. İfadedeki ilk iki işaretin değiştirildiğine dikkat edin.

(x ^ 3-8) = (x + 2) (x ^ 2 - 2x + 4).

Her iki örnek de adım [4] 'te üçlü faktörlerin nasıl faktörünü öğrendikten sonra daha fazla faktör haline getirilebilir.

Adım 4: Factoring Trinomials

Trinomials: Üç terim eklenmiş bir ifade. 2x ^ 2 + 6x - 8 şanslı göstericimiz olarak hizmet edecektir.

İlk olarak, GCF'yi hesaba katın. Bu HERHANGİ BİR ifadeyi çarpanlarına ayırırken DAİMA ilk adımınız olacaktır.

2 (x ^ 2 + 3x - 4)

GCF'yi çarpanlarına ayırdıktan sonra ikiden büyük bir x gücüyle sonuçlanırsanız, başka bir adıma geçin.

Sabitin tamsayı faktörlerini listeler. Bunları iki şekilde eşleştirmek isteyeceksiniz:

-4, 1
-2, 2
-1, 4

Bunlardan birini, toplandığında ikinci terimin katsayısına eşit olan 3, 3 + 4 = 3'e bulmak istersiniz. Buradan, içinde x'in bulunduğu iki parantez seti yazın:

(x) [x)

Sonra parantez içinde çalışan iki terimi yapıştırın.

(x - 1) (x + 4)

GCF'yi geri eklemeyi unutmayın.

2 (x - 1) (x + 4)

Üçlü bir şeyi bu şekilde hesaba katıyorsunuz.

İşte bir tane daha: 2x ^ 2 + 11x - 6.

Bu sefer bir bükülme var: x ^ 2 katsayısı 1 değil. Bu, başka bir adım ekleyeceğimiz anlamına gelir:

Sabit, -6 faktörlerini ve x2, 2 katsayısını listeleyin.

-6, 1
-3, 2
-2, 3
-1, 6

1, 2

Şimdi, sol taraftaki faktörlerin her birini 1 ve sağdaki 2'yi 2 ile çarpmak isteyeceksiniz. 1 ve 2'yi değiştirerek tekrarlayın.

-6, 2
-3, 4
-2, 6
-1, 12
-12, 1
-6, 2
-4, 3
-2, 6

Orta dönem katsayısına kadar toplayan çifti bulun (bu durumda -1 + 12 = 11). Parantezleri ayarlayın:

(x) [x)

Orijinal sayıları girin (1 ve 2 ile çarpmadan önce sahip olduğunuz):

(x - 1) (x + 6)

Sonra bir ve ikisini x katsayıları olarak yapıştırın, böylece dış ve iç terimleri çarpıp birleştirdiğinizde 11 elde edersiniz.

(2x-1) (x + 6)

Çalışmanızı FOILing yaparak kontrol ederseniz, başladığınız ifade olan 2x ^ 2 + 11x - 6 ile sonuçlanırsınız. Tebrikler!

Adım 5: Değişikliklerle Trinomialleri Faktoring Etme

9x ^ 4 + 45x ^ 2 + 14.

Bu ifadenin daha küçük sayılar ve değişken güçlerle çarpanlarına göre daha kolay olacağını düşünmüyor musunuz?

Daha düşük bir sayı ve değişken gücü aşağıdaki gibi değiştirebilirsiniz:

N = 3x ^ 2 (değişken güçlerin GCF'si ve sayı katsayılarının GCF'sinin x'in gücüyle çarpımının kare kökü) ayarlayın. Daha sonra orijinal ifadedeki terimleri n'ye bölerek yerine koyun.

n ^ 2 + 15n + 14.

Artık kolayca çarpanlarına ayırabilirsiniz.

(n + 14) (n + 1).

3x ^ 2'yi n'lerin bulunduğu ifadeye geri yapıştırın.

(3x ^ 2 + 14) (3x ^ 2 + 1).

Adım 6: İkinci dereceden Denklem

Aldığınız kombinasyonların hiçbiri (4. adımdan itibaren) doğru toplanmazsa, ikinci dereceden denklemi kullanmanız gerekir.

(-b +/- sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / 2a

(sqrt (#) = # 'ın kare kökü

Bir trinomialın ax ^ 2 + bx + c formuna sahip olması.

Yani, kuadratik formülü 1x ^ 2 + 3x + 2 ile kullanmak isterseniz, şu şekilde eklersiniz:

(-3 +/- sqrt (3 ^ 2-4 (-2) (1)) / 2.

Bu, (-3 +/- sqrt 17) / 2'ye kadar basitleştirir. 1x ^ 2 + 3x + 2 faktörleri (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)) olacaktır. (Cevabı "x -" karakterinin sağına yapıştırıyorsunuz. Bunun neden işe yaradığına dair daha fazla bilgi için [8] adımında.)

Adım 7: Polinomları Gruplandırarak Faktoring

Bazen dört veya daha fazla terim alırsınız, bu şuna benzer:

2x ^ 2 + 6x ^ 3 + 5x ^ 7 + 15x ^ 8

Ortak bir katsayı yoktur ve x ^ 2'yi çarpanlarına ayırmak pek yardımcı olmaz. Burada gruplandırmayı faktör olarak kullanabilirsiniz.

Gruplama, ifadenin sadece iki teriminin GCF'sini çarpanlarına ayırmak anlamına gelir. Her ikisinin de 2x ^ 2 + 6x ^ 3 ve 5x ^ 7 + 15x ^ 8'in bir GCF'sinin çıkarılabileceğini görebilirsiniz. Böyle yap.

2x ^ 2 (1 + 3x) + 5x ^ 7 (1 + 3x)

Ortak bir faktör olduğunu unutmayın, 1 + 3x. Bu ifade (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x) olarak yeniden ifade edilebilir. Cevabınız burada.

(2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x), ilk binomdan bir x ^ 2 faktörünü çarpanlarına ayırarak daha fazla faktörleştirilebileceğini unutmayın: x ^ 2 (2 + 5x ^ 5) (1 + 3x).

Adım 8: Sentetik Bölüme Göre Polinomları Faktoring

Bazen hiç umudu yokmuş gibi görünen canavar polinomlar alırsınız.

3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2 buna bir örnektir. Bir GCF'yi ortak bir faktör oluşturacak şekilde çarpanlarına ayırmak için gruplamayı kullanamazsınız.

Bunun nasıl çalıştığını açıklamak için, bir denklemi çarpanlara ayırma ile çözerken, çarpanlara ayrılmış şeyi 0'a eşitlemeniz ve X'in sıfıra eşit olması gerektiğini bulmanız gerektiğini bilmeniz gerekir. Örneğin, 0 = (x - 2) (x + 1). Çözeltiler 2 ve -1'dir.

Bir polinomun tamsayı katsayıları varsa, her sıfır veya çözelti P / Q biçimindedir, burada P = sabit terimin bir faktörü ve Q = önde gelen katsayının bir faktörü.

Temel olarak, sabitin tüm faktörlerini listeler ve bunları her kombinasyonda önde gelen katsayı faktörlerine (en yüksek güce sahip değişkenin yanındaki katsayı) bölerseniz, olası rasyonel çözümlerin bir listesini alırsınız. Bu size faktörleri nasıl kazandırır? Çözüm olarak 2 elde ederseniz, geriye doğru çalışabilir ve denklemin faktörlerinden birinin (x - 2) olduğunu söyleyebilirsiniz.

Yani, örneğe geri dönelim:

2 faktörleri: +/- 1, +/- 2 (negatifleri eklemeniz gerekir)
3 Faktörleri: +/- 1, +/- 3

P / Q: +/- 1, +/- 1/3, +/- 2, +/- 2/3

Listenizi aldıktan sonra, bu P / Q'lardan hangilerinin gerçekten çözüm olduğunu görmek için sentetik bölüm adı verilen bir şey kullanırsınız.

Sentetik bölünme, polinomları xk formunun bir binomuna bölmenin bir yoludur. Nasıl çalıştığını açıklamayacağım, sadece faktoring için nasıl kullanılacağını göstereceğim.

İlk olarak, P / Q'larınızdan birini küçük bir kutuya veya parantez kümesine koyun, ardından katsayıları ve sabiti yanındaki bir satırda listeleyin. Polinom bir güç atlarsa (x ^ 2 + 2), x1'in olması gereken yer için 0 eklemeniz gerekir.

(İfade: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)

(Yıldız işaretlerini yok sayın, yer tutucu olarak kullanılırlar. Daha da iyisi, ilk resme bakın.)

(1) 3-8-9 2



Boş bir alan bırakın, bir çizgi çizin, ardından ilk terimi 3, aşağı bırakın.

(1) 3-8-9 2


*** 3

Ardından kutudaki sayı ile çarpın ve bir sonraki terimin altına koyun.

(1) 3-8-9 2
****** 3

*** 3

8 + 3 ekle

(1) 3-8-9 2
****** 3

*** 3 11

Çarpmak.

(1) 3-8-9 2
****** 3 11

*** 3 11

Ekle.

(1) 3-8-9 2
****** 3 11

*** 3 11 2

Çarpmak.

(1) 3-8-9 2
****** 3 11 2

*** 3 11 2

Ekle.

(1) 3-8-9 2
****** 3 11 2

*** 3 11 2 4

Bu sayı dizisi, 3, 11, 2, 4 size bir derece daha az bir ifade verir (orijinal ifadedeki en yüksek üs 3 ise, bölümdeki en yüksek üs 2 olur) ve geri kalanı.

(Orijinal İfade: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)

Bölüm: 3x ^ 2 + 11x + 2 Kalan 4

Eğer bir kalıntı alırsanız, denediğiniz kutudaki sayı denklem için bir çözüm değildir. Bu numarayı listenizden çıkarın ve başka bir numarayla tekrar deneyin. Hemen hemen tahmin et ve kontrol et.

Sonunda 1/3 dener ve temiz bir şekilde bölündüğünü görürsünüz. Şununla sonuçlanacaksınız:

(x - 1/3) (3x ^ 2 + 9x-6).

Artık ikilinin üçüncüsüne sahip olduğunuza göre, geri dönüp çarpanlarına ayırabilirsiniz. Önce GCF'yi çıkarmayı unutmayın! (X - 1/3) (3) (1x ^ 2 + 3x + 2) ile kalırsınız. İkinci dereceden denklem ile üçlü faktörü hesaplayın (bu denklem [6] adımında örnek olarak kullanıldı, bu yüzden gerekirse tekrar bakın). (3) [x - 1/3) (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)) ile sonuçlanacaksınız. Çok çirkin, ama böyle yapıyorsun.

Adım 9: Faktoring İleri: İrrasyonel ve Hayali

Mükemmel bir kökü olmayan (x ^ 2 - 2) gibi bir kare değişkeninden çıkartılan binom sayısı, kare kökler kullanılarak daha fazla faktörleştirilebilir. (x + sqrt (2)) (x - sqrt (2)). Bu, irrasyonel sayı kümesini getirir.

(X ^ 2 + 1) gibi bir kare değişkenine bir sayı eklenmiş binomialler, hayali sayılar kullanılarak daha fazla faktör haline getirilebilir. "i" negatif olanın karekökü anlamına gelir. Böylece (x ^ 2 + 1) (x + i) (x - i) olarak çarpanlarına ayrılabilir. Bu hayali sayılar kümesini getirir.

Adım 10: Huzzah!

Artık karşılaşacağınız herhangi bir sayı veya ifadeyi nasıl hesaplayacağınızı biliyorsunuz. Aferin!

Bunu sizin için yapabilen programlar da var. Google "polyroot" yazarsanız, bilgisayarınız için birkaç programa bağlantılar alırsınız. HP 39 / 40gs grafik hesap makinelerinde yerleşik çoklu kök işlevi vardır. Bir TI-89 grafik hesap makineniz varsa, bir faktoring işlevi de vardır. Daha önceki model TI grafik hesap makineleri yerleşik değildir, ancak faktoring programları vardır. TI grafik hesap makinenize aktarabileceğiniz programlar için Google "ti ikinci dereceden çözücü".

Karesel denklemlere grafik çizerek ve grafiğin x ekseniyle kesiştiği yeri hesaplamak için 'sıfır' işlevini kullanarak gerçek çözümler de bulabilirsiniz. Daha sonra bu sayıyı "x -" yanına yapıştırabilirsiniz.

Feragatname: Çoğu matematik sınıfı ya faktörlü hesap makinelerine izin vermemek ya da programlanabilir hesap makinelerinin belleğini (programlarla birlikte) temizlemenizi sağlamaktır. Ayrıca, herhangi bir çözümde doğal olmayan bir kök varsa, cevap olarak uygun olmayan uzun bir ondalık sayı dizisi alırsınız. Sadece elle nasıl yapacağınızı öğrenin.

İlgi̇li̇ Makaleler